Resolución ejercicio 5 subitem f de Práctica 4: Límites y Continuidad de Análisis Matemático 66 UBA XXI Cátedra Gutierrez (Única)

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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC

CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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5. Calcule los siguientes límites

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (5 x)}{x^{2}}

Respuesta

Este lo vamos a resolver con las mismas magias que usamos en el item anterior:

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (5 x)}{x^{2}}

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero" y queremos resolverla sin usar L'Hopital. Multiplicamos y dividimos la expresión por el conjugado:

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (5x)}{x^{2}} \cdot \frac{1+\cos(5x)}{1+\cos(5x)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos (5x))(1+\cos(5x))}{x^{2}(1+\cos(5x))} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos^2(5x)}{x^{2}(1+\cos(5x))}

Esto lo hicimos para poder usar ahora la identidad trigonométrica

1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2(5x)}{x^{2}(1+\cos(5x))}

Reescribimos:

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(5x)\sin(5x)}{x \cdot x (1+\cos(5x))} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(5x)}{x} \cdot \frac{\sin(5x)}{x} \cdot \frac{1}{1+\cos(5x)}

Multiplicamos y dividimos por lo que necesitamos para que nos aparezcan los límites especiales, y tomamos límite:

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5}{5}  \frac{\sin(5x)}{x} \cdot \frac{5}{5} \frac{\sin(5x)}{x} \cdot \frac{1}{1+\cos(5x)} = 5 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{2}

El resultado del límite entonces es...

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (5 x)}{x^{2}} = \frac{25}{2}

Si, repito, como te dije en el item anterior, este límite salía en menos de un renglón con L'Hopital, sólo necesitamos saber derivar (falta poco!)

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